1. Вступ. Теорія операторів Штурма — Ліувілля є одним із найбільш розвинених напрямків теорії звичайних диференціальних рівнянь (див., наприклад, монографію [1] і наведену там бібліографію).

Основним об’єктом цієї теорії є заданий на скінченному інтервалі [a, b] вираз і пов’язані з ним оператори. Стандартним припущенням щодо регулярності коефіцієнтів (1) є таке: .

Разом з тим у зв’язку з роботами фізиків виник інтерес до ситуації, коли в диференціальному виразі (1) функція q є мірою або ще більш сингулярною узагальненою функцією (див., наприклад, монографії [2, 3] і наведену там бібліографію).

У роботах [4, 5] (див. також [6]) запропоновано підхід, який дозволяє коректно визначити диференціальний вираз (1) при значно ширших умовах на коефіцієнти , де похідна Q' розуміється в сенсі узагальнених функцій. Цей підхід спирається на теорію квазідиференціальних операторів Шина — Цеттла [7, 8] і дозволяє дослідити диференціальні оператори високого порядку [5, 9]. При цьому природним чином виникає питання про можливість зображення диференціального оператора, породженого виразом (1) і однорідними двоточковими крайовими умовами, у вигляді рівномірної резольвентної границі (див. [10]) аналогічних операторів з гладкими коефіцієнтами. Для випадку p(t) ≡ 1 позитивну відповідь на нього дано в роботах [11, 12]. Випадок p(t) > 0 майже скрізь на [a, b] і дійснозначної функції Q вивчався у [13]. У даній роботі наведено узагальнення і посилення цього результату, яке формулюється у термінах рівномірної апроксимації функції Гріна.

2. Попередні результати. Спочатку наведемо необхідні результати з [4]. Введемо для заданої на інтервалі [a, b] функції квазіпохідні: .

Позначимо .

У припущеннях (2) вирази D[0]y(t), D[1]y(t), D[2]y(t) є квазіпохідними Шина — Цеттла (див. [8], розділ 1). Також легко перевірити, що для достатньо гладких функцій p і Q (випадок класичного виразу Штурма — Ліувілля) справджується рівність l(y) = −D[2]y.

Тому формальний вираз (1) можна коректно визначити як квазідиференціальний вираз Шина — Цеттла .

Відповідна йому матриця Шина — Цеттла має вигляд .

Розглянемо двоточкову квазідиференціальну крайову задачу , де матриці .

Наступне твердження пов’язує квазідиференціальну крайову задачу (4), (5) із системами диференціальних рівнянь першого порядку.

Лема 1. Функція y(t) є розв’язком крайової задачі (4), (5) тоді і тільки тоді, коли вектор-функція w(t) = yb(t) є розв’язком крайової задачі

, де квадратну матрицю-функцію A(t) задано формулою (3), а .

Нехай однорідна крайова задача має лише тривіальний розв’язок. Тоді, як відомо, існує матриця Гріна цієї задачі .