Системи частинок, що взаємодіють, іноді не можуть бути описані в термінах звичайного термодинамічного ансамблю (наприклад, самоґравітівні системи) [1, 2], а тому їх не можна розглядати на основі стандартних методів рівноважної статистичної механіки. Зокрема, коли енергія не є адитивною, канонічний ансамбль непридатний до вивчення систем з далекосяжними взаємодіями. В таких системах рівноважні стани відповідають лише локальним максимумам ентропії [3,4]. Для того, щоб визначити рівноважні стани системи частинок, що взаємодіють, та описати ймовірні фазові переходи, розроблено два типи підходів – статистичні та термодинамічні. Загалом вважається, що для таких систем теорія середнього поля є повністю прийнятною, хоча в цій теорії будь-яка термодинамічна функція залежить від термодинамічних параметрів лише в термінах безрозмірних комбінацій, і система може бути термодинамічно нестабільною, хоча термодинамічна межа існує [4].

Системи частинок з далекосяжними взаємодіями, наприклад, самоґравітівні системи або системи з кулонівським відштовхуванням, не досягають термодинамічної рівноваги Больцмана–Гібса. Вони потрапляють в квазістаціонарні стани, час життя яких може бути як завгодно великий, коли кількість частинок більшає. Кількісний опис порога нестабільності спонтанного порушення симетрії для 𝑑-вимірних систем наведено в роботі [5]. Однорідний розподіл частинок у системі частинок із взаємодіями за рахунок далекосяжної сили є нестійким. Розподіл частинок у такій системі просторово неоднорідний від самого початку. Поведінка систем для різних рівноважних ансамблів потребує різних способів описання, головним чином тому, що будь-який стан системи частинок з далекосяжною взаємодією далекий від рівноваги, а час релаксації його рівноважного стану дуже великий.

Нерівноважні стаціонарні стани були описані в роботі [6]. Тривимірні системи можуть потрапляти в пастку нерівноважних квазістаціонарних станів і не еволюціювати до термодинамічної рівноваги. Таким чином, виникає дилема: або використати постулати рівноважної статистичної механіки і отримати лише критерії нестабільності, або врахувати можливі просторово неоднорідні розподіли частинок, використовуючи інші підходи. Неоднорідний розподіл частинок, температури і хімічного потенціалу можна розглядати в термінах нерівноважного статистичного оператора [3], що враховує ймовірність локальних змін термодинамічних параметрів. Цей підхід базується на тому, що рівняння стану має випливати з явного виду функції розподілу просторово неоднорідної системи, яку можливо визначити у термодинамічній границі [7, 8]. Система є нерівноважною апріорі, а неоднорідність розподілу частинок допускає неоднорідні розподіли температури, хімічного потенціалу та інших термодинамічних параметрів.

Формування просторово неоднорідного розподілу частинок із взаємодією є типовою проблемою фізики конденсованої речовини. При цьому статистичний опис має використовувати процедуру для обчислення основних внесків до функції розподілу та не призводити до розбіжностей ентропії для нескінченного об’єму системи. Нетрадиційний метод для розв’язання цієї проблеми запропоновано в роботах [9, 12]. Він використовує представлення Хаббарда–Стратоновича функції розподілу [13] і застосовується до опису системи частинок з далекосяжними взаємодіями, щоб знайти розв’язок для розподілу частинок, не використовуючи обмежень на об’єм та кількість частинок. Важливо, щоб цей розв’язок не мав розбіжностей в термодинамічній границі. Для цього можна скористатися наближенням сідлової точки, що дає змогу врахувати збереження числа частинок в обмеженому об’ємі. Функції розподілу для обох випадків однорідних і неоднорідних розподілів частинок були отримані в [10, 11, 15]. Такий підхід, однак, визначає лише умову формування ймовірних неоднорідних розподілів у системі частинок з далекосяжними взаємодіями.

Важливою фундаментальною проблемою є пошук адекватного підходу до статистичного опису самоґравітувальних систем. Загальна проблема поведінки таких систем вивчалася довгий час [16] і виявилася набагато складнішою, ніж вивчення інших систем багатьох тіл. У цьому контексті самоґравітівні системи є об’єктами, що дають змогу перевірити і розвинути ідеї статистичної механіки і термодинаміки [17]. Статистичний опис самоґравітівної системи привертає постійну увагу з огляду на астрофізичні проблеми [18,28] і формулювання загальних методів, які можуть бути використані в інших фізичних ситуаціях.

У випадку самоґравітівної системи термодинамічні ансамблі є нееквівалентними. В канонічному описанні не існує негативного значення теплоємності [1], що його можна спостерігати для мікроканонічних ансамблів [19]. У мікроканонічному ансамблі саморуйнування відповідає «ґравітермічній катастрофі», тоді як в канонічному ансамблі воно пов’язане з «ізотермічним колапсом» [19]. Самоґравітівна система може збільшувати ентропію, не обмежуючись зростанням густини, оскільки рівноважні стани пов’язані тільки з максимумом локальної ентропії. Однак, якщо ввести відштовхувальний потенціал на короткій відстані, що запобігає повному колапсові, то глобальний максимум ентропії тепер може бути досягнутий для всіх доступних значень енергії. Ефективне відштовхування може бути введено різними способами, оскільки фізичні результати досить нечутливі до точної форми регуляризації. Як альтернативу ми можемо розглядати класичний газ твердих сфер з урахуванням введення виключених об’ємів навколо кожної частинки [20]. Для газу з чисто ґравітаційною взаємодією між частинками функція розподілу розбігається. Переважно через те, що стани самоґравітівних систем у більшості випадків далекі від рівноваги, то час релаксації до рівноваги дуже великий. Однорідний розподіл однорідних частинок у такій системі є нестійким, а відтак розподіл частинок є просторово неоднорідним від самого початку. Система розбивається на комплекс неоднорідних кластерів, що еволюціонують до більш конденсованого стану.

Поведінку самоґравітівної системи для різних рівноважних ансамблів описують різними методами. Зроблено неодноразові спроби врахувати неоднорідність розподілів частинок, але задача і досі не розв’язана. Причина полягає в тому, що при врахуванні неоднорідности хімічний потенціал залежить від просторових змінних, а рівняння стану має співвідносити температуру і густину, а отже, температура, як термодинамічний параметр, також має залежати від просторових координат. Стандартний підхід використовує політропне рівняння, яке визначає концентраційну залежність температури, а відтак і залежність тиску від концентрації. Це генерує, зокрема, стабільні розв’язки при ґравітаційному утворенні зірок. Цей підхід є дещо неузгодженим, оскільки рівняння стану має випливати з визначення функції розподілу, яка, однак, невідома для просторово неоднорідних систем [7, 8].

У цьому огляді ми представляємо новий підхід, що ґрунтується на використанні нерівноважного статистичного оператора [3], який більше пристосований для опису систем частинок з далекосяжним характером взаємодії. Рівняння стану і всі необхідні термодинамічні характеристики регулюються рівняннями, які визначають стани, що дають найбільший внесок в статистичну суму. Тому немає необхідності вводити додаткову гіпотезу про залежність густини від температури. Остання залежність випливає з розв’язку відповідних термодинамічних співвідношень, які визначають нерівноважну функцію розподілу. Для простих випадків отримано ймовірні просторово неоднорідні розподіли частинок і температури. Для випадку рівноваги відтворюється добре відомий результат [21, 22] для функції розподілів. Показано, що цей підхід описує неоднорідний розподіл частинок і визначає необхідні параметри системи.

Основна ідея роботи полягає в тому, щоб надати детальний опис системи з далекосяжною взаємодією, заснованої на принципах нерівноважної статистичної механіки, і отримати ймовірні розподіли частинок для випадку фіксованого числа частинок і енергії системи.

Дотепер статистичний опис неоднорідности передбачав просторово неоднорідні розподіли частинок, температури і хімічного потенціалу при фіксованому числі частинок і енергії системи. У багатьох випадках, однак, неоднорідність викликана зовнішніми енергетичними змінами, пов’язаними з впливом навколишнього середовища. Таким чином, нам необхідно розробити метод, який має забезпечити можливість врахування впливу навколишнього середовища на поведінку окремої макроскопічної системи і знайти відповідні стани останніх. Флуктуації параметрів як системи, так і середовища також мають бути враховані. Підказку для такого підходу свого часу надав Гібс [53].

У всіх випадках макросистема, що взаємодіє із середовищем, після релаксації переходить в рівноважний стан. Властивості такої системи визначаються в залежності від характеристик середовища. Рівноважного стану окремої макросистеми можна досягти в ідеальних умовах [21,52,54]. В результаті впливу навколишнього середовища термодинамічні параметри окремої макросистеми збігаються з характеристиками термостата.

Як відомо, будь-який стан системи можна описати в термінах функцій розподілу, які визначають всі термодинамічні властивості макроскопічної системи [21, 52]. На практиці статистичний опис макроскопічної системи вимагає знання лише кількох макроскопічних параметрів, таких як, наприклад, енергія. Отже, фундаментальним завданням є розроблення методу дослідження властивостей стаціонарних станів відкритих систем і виявлення умов існування таких станів. Один з можливих шляхів розв’язання цієї загальної проблеми може бути опис, заснований на підході Гібса [53]. Основна мета нашого огляду якраз і полягає в тому, щоб запропонувати простий спосіб описання нерівноважних систем в енергетичному просторі [24] та застосувати його для формулювання нової концепції розв’язання космологічної проблеми.

2. Статистичний опис нерівноважних систем взаємодійних частинок

Статистична термодинаміка нерівноважних систем базується на законах збереження для динамічних змінних. Для визначення термодинамічних функцій нерівноважної системи використовують представлення відповідних статистичних ансамблів, які враховують нерівноважні стани цих систем. Можна припустити, що концепція ансамблів Гібса застосована для описування нерівноважних стаціонарних станів системи. У цьому випадку можна визначити нерівноважний ансамбль як сукупність системи, що відповідає одній і тій самій стаціонарній зовнішній дії. Ці системи в один і той самий спосіб взаємодіють з термостатом і можуть мати всі можливі значення макроскопічних параметрів, сумісних з наявними умовами. У системах, що перебувають в однакових стаціонарних зовнішніх умовах, формуються локальні стаціонарні розподіли. Якщо зовнішні умови залежать від часу, то локальний рівноважний розподіл не буде стаціонарним. Для нелокально рівноважного ансамблю необхідно визначити функцію розподілу або статистичний оператор системи [3].

Нарешті можна нагадати, що стаціонарні стани є лише метастабільними, оскільки відповідають локальному максимальному значенню ентропії. Якщо припустити, що нерівноважні стани системи можна визначати за допомогою неоднорідного розподілу енергії 𝐻(r) і кількості частинок 𝑛(r), то функцію розподілу для класичної системи можна записати у вигляді [3]: , .

Інтеґрування у формулі має здійснюватися по всьому фазовому простору системи. Треба зазначити, що у випадку локального рівноважного розподілу множники Лаґранжа 𝛽(r) та 𝜂(r) є функціями просторової координати. Мікроскопічна густина частинок може бути представлена в стандартній формі . Введення локального рівноважного розподілу можливе, якщо час релаксації у всій системі більший за час релаксації в локальній макроскопічній ділянці. Визначивши нерівноважний статистичний оператор, можна описати всі термодинамічні параметри нерівноважної системи. Для цього узагальнимо термодинамічне співвідношення для неоднорідних систем. Для визначення невідомих множників Лаґранжа запишемо необхідне термодинамічне співвідношення у вигляді . Ці співвідношення є природним узагальненням добре відомих співвідношень для рівноважної системи, на випадок неоднорідної системи. Збереження частинок і енергії в системі можна записати у вигляді .

Для подальшого статистичного опису нерівноважної системи необхідно визначити гамільтоніан системи , де потенціальна енергія взаємодії складається з двох частин , 𝑊(r𝑖r𝑗) описує притягування, а 𝑈(r𝑖r𝑗) відштовхування. Тоді густина енергії має вигляд .

Це представлення можна використовувати, якщо весь простір розбити на рівні області з однаковою масою і розглянути їхнє переміщення у фазовому просторі як нестислої рідини. Для системи взаємодійних частинок нерівноважний статистичний оператор можна записати у вигляді , , . Інтеґрування у фазовому просторі означає . Для того, щоб здійснити формальне інтеґрування у другій частині такого представлення, можна ввести додаткові змінні поля, використовуючи теорію інтегралів Гаусса [12, 13]: , а 𝜔−1(r,r′) є оберненим оператором, який задовольняє умову . Енергія взаємодії є функцією Гріна для цього оператора, а 𝜈2=±1 в залежності від знака взаємодії або потенціальної енергії. Після запропонованого перетворення поле змінної 𝜎(r) містить ту саму інформацію, що і первісна функція розподілу, тобто всю інформацію про можливі просторові стани систем.

Тепер статистичний оператор можна переписати у вигляді: , де , а частина, яка походить від взаємодії, . У загальному функціональному інтеґралі можна провести інтеґрування на фазовому просторі, якщо використовувати визначення густини, а також просумувати за числами заповнення. Математичні перетворення цього функціонала можна знайти в оригінальних роботах [37–40]. Після цього нерівноважний статистичний оператор можна переписати у вигляді , де ефективний нерівноважний «локальний термодинамічний потенціал» набуває вигляду . Тут введено нову змінну 𝜉(r)≡exp𝜂(r), яку можна інтерпретувати як хімічну активність. Статистичний оператор в представленій формі дає можливість застосовувати ефективні методи, розроблені в квантовій теорії поля, без накладення додаткових обмежень інтеґрування на змінні поля і без використання теорії збурень. Функціонал 𝑆(𝜙(r),𝜉(r),𝛽(𝑟)) залежить від розподілу змінних поля 𝜙(r), хімічної активності 𝜉(r) та оберненої температури 𝛽(r). Тепер можна використати метод сідлової точки для пошуку асимптотичного значення статистичного оператора 𝑄𝑙 при збільшенні кількості частинок 𝑁 до ∞. Домінівним внеском є стани, які задовольняють екстремальні умови функціонала. Очевидно, що рівняння сідлової точки представляють термодинамічні співвідношення і їх можна записати як рівняння для змінної поля за умов збереження кількості частинок та збереження енергії системи .

Розв’язки отриманих таким чином рівнянь повністю визначають всі термодинамічні параметри і описують загальну поведінку взаємодійної системи незалежно від того, чи є цей розподіл частинок просторово неоднорідним, чи ні. Вищенаведені рівняння, в принципі, описують багаточастинкову задачу в термодинамічній границі. Просторово неоднорідний розв’язок цих рівнянь відповідає розподілу взаємодійних частинок. Така неоднорідна поведінка пов’язана з природою та інтенсивністю взаємодії. Іншими словами, накопичення частинок в скінченій просторовій області (формування неоднорідності) відображає просторовий розподіл полів, активності і температури. Дуже важливо зазначити, що саме в цьому підході можна врахувати неоднорідну температуру розподілу, яка може залежати від просторового розподілу частинок у системі.

3. Системи частинок з далекосяжною взаємодією

У визначенні 𝑄∫︀ присутній обернений оператор енергії взаємодії, і тому для дальшого опису нам необхідно визначити цей оператор. Розпочнімо із розгляду системи з притягувальною ґравітаційною взаємодією. У загальному випадку далекосяжних взаємодій, таких як кулонівська або ньютонівська ґравітаційна взаємодія, в неперервній границі обернений оператор можна розглядати як оператор , де △r – оператор Лапласа в реальному просторі.

Кількість реалістичних взаємодій, для яких можна знайти обернений оператор, обмежена. Труднощів в отриманні оберненого оператора можна уникнути шляхом введення колективної змінної, яка відповідає взаємозв’язку між введеними полями на траєкторіях сідлової точки.